Lời Giải Chi Tiết Bài Toán “trong Một Cuộc Thi Pha Chế” – Quy Hoạch Tuyến Tính 24g Hương Liệu, 9 Lít Nước, 210g Đường

Bài toán “Trong một cuộc thi pha chế” là một ví dụ kinh điển của Quy hoạch tuyến tính (Linear Programming) trong chương trình Toán 12, Chương 2. Bài viết này cung cấp lời giải chi tiết, từng bước cho đề bài với số liệu cụ thể: 24g hương liệu, 9 lít nước, 210g đường, sản xuất nước cam và nước táo. Nội dung tập trung vào việc xây dựng mô hình toán học chính xác từ đề bài thực tế, xác định ẩn số, hệ ràng buộc và hàm mục tiêu.

Sau đây, chúng ta sẽ đi lần lượt qua các giai đoạn: restate lại đề bài gốc với các giả thiết toán học, làm rõ nhu cầu nguyên liệu đơn vị, sau đó xây dựng mô hình quy hoạch tuyến tính đầy đủ gồm ẩn số, hệ bất phương trình ràng buộc và các dạng hàm mục tiêu thường gặp. Việc nắm vững các bước này là chìa khóa để giải đúng và nhanh các bài toán ứng dụng tương tự trong kỳ thi THPT Quốc gia.

Đề bài gốc và các giả thiết toán học

Để giải bài toán Quy hoạch tuyến tính “Trong một cuộc thi pha chế”, bước đầu tiên và quan trọng nhất là trích dẫn chính xác đề bài, làm rõ các giả thiết và chuyển ngôn ngữ tự nhiên sang ngôn ngữ toán học để tránh hiểu nhầm dữ liệu đầu vào.

Trích dẫn nguyên văn đề bài phổ biến (24g hương liệu, 9 lít nước, 210g đường, nước cam, nước táo)

Đề bài tiêu chuẩn thường gặp trong các tài liệu ôn thi THPT (như VietJack, Tuyensinh247, Lời giải hay, hoặc các đề dự bị năm 2026) có nội dung như sau:

“Trong một cuộc thi pha chế, một đội có 24g hương liệu, 9 lít nước và 210g đường. Để pha chế 1 lít nước cam cần 1g hương liệu, 1 lít nước, 30g đường. Để pha chế 1 lít nước táo cần 4g hương liệu, 1 lít nước, 10g đường. Hỏi nên pha chế bao nhiêu lít nước cam và bao nhiêu lít nước táo để mục tiêu: lợi nhuận tối đa / tổng sản lượng tối đa?”

Các thực thể (Entity) và số liệu cốt lõi cần ghi nhớ:
– Nguồn lực có hạn (Resources): Hương liệu = 24g; Nước = 9 lít; Đường = 210g.
– Sản phẩm (Products): Nước cam (gọi tắt là Cam), Nước táo (gọi tắt là Táo).
– Đơn vị đo lường: Khối lượng (gam) cho hương liệu, đường; Thể tích (lít) cho nước và sản phẩm thành phẩm.

Lưu ý quan trọng: Đề bài đôi khi xuất hiện dưới dạng biến thể: đổi đơn vị (cốc, kg), đổi tên loại (Loại A, Loại B), hoặc thay đổi số liệu (ví dụ: 240g hương liệu, 90 lít nước, 2100g đường). Tuy nhiên, cấu trúc ma trận tiêu hao nguyên liệu trên 1 đơn vị sản phẩm luôn giữ nguyên tỷ lệ. Người giải cần nhận diện đúng ma trận này để không bị sai khi quy đổi đơn vị.

Làm rõ nhu cầu nguyên liệu cho 1 lít mỗi loại nước (nước cam: 1g hương liệu, 1 lít nước, 30g đường; nước táo: 4g hương liệu, 1 lít nước, 10g đường)

Đây là bước xây dựng ma trận tiêu hao (Technology Matrix) – trái tim của mô hình Quy hoạch tuyến tính. Mọi sai sót ở đây sẽ dẫn đến hệ ràng buộc sai lệch hoàn toàn.

Bảng tiêu hao nguyên liệu trên 1 lít thành phẩm:

Phân tích chi tiết từng hàng ràng buộc:

1. Ràng buộc Hương liệu: Mỗi lít nước cam tốn 1g, mỗi lít nước táo tốn 4g. Tổng không quá 24g.
   • Biểu thức: $1 \cdot x + 4 \cdot y \le 24$.
2. Ràng buộc Nước: Cả hai loại đều tốn 1 lít nước trên 1 lít thành phẩm. Tổng không quá 9 lít.
   • Biểu thức: $1 \cdot x + 1 \cdot y \le 9$.
3. Ràng buộc Đường: Nước cam tốn 30g/lít, nước táo tốn 10g/lít. Tổng không quá 210g.
   • Biểu thức: $30x + 10y \le 210$. Rút gọn chia 10: $3x + y \le 21$.

Điều kiện phi âm (Non-negativity): Số lít sản xuất không thể là số âm.
$x \ge 0; \quad y \ge 0$.

Mẹo nhớ nhanh: Hãy viết ngay ma trận này trên giấy thi ngay khi đọc xong đề bài. Đừng giải trong đầu. Việc nhìn thấy ma trận giúp bạn viết hệ bất phương trình “không cần suy nghĩ”, giảm thiểu lỗi dấu $\le$ hay $\ge$, lỗi hệ số.

Xác định bài toán thuộc chủ đề Quy hoạch tuyến tính (Lớp 12 – Chương 2)

Bài toán này thuộc mảng Quy hoạch tuyến tính (Linear Programming), nằm trong Chương 2: Hàm số – Đạo hàm – Ứng dụng (theo chương trình GDPT 2026, sách giáo khoa Toán 12 tập 1).

Đặc điểm nhận dạng bài toán Quy hoạch tuyến tính:
1. Mục tiêu: Tìm Max hoặc Min của một hàm số bậc nhất (Hàm mục tiêu).
2. Ràng buộc: Các biến ẩn thỏa mãn một hệ bất phương trình bậc nhất (Miền giải khả thi).
3. Miền giải: Là một đa giác lồi (thường là miền giới hạn) trên mặt phẳng $Oxy$.
4. Định lý cơ bản (Định lý giá trị cực trị): Giá trị Max/Min của hàm mục tiêu (nếu tồn tại) luôn đạt được tại một trong các đỉnh của miền giải khả thi.

Có thể bạn quan tâm: Hướng Dẫn Pha Chế Cà Phê Từ A-z: Công Thức Phin Chuẩn, 9+ Cách Pha Khác & Bí Quyết Cho Người Mới/chủ Quán

Tại sao bài “Pha chế” là bài tiêu chuẩn?
– Số ẩn số $n = 2$ ($x, y$) $\rightarrow$ Giải bằng phương pháp đồ thị (trực quan, dễ kiểm tra).
– Hệ ràng buộc đều là bất phương trình bậc nhất $\rightarrow$ Miền giải là đa giác.
– Số liệu “đẹp” (hệ số nguyên, giao điểm có tọa độ nguyên) $\rightarrow$ Phù hợp cho kỳ thi thời gian hạn chế.

Nắm vững lý thuyết: Trước khi vào bài tập, học sinh cần ôn lại: Cách vẽ đường thẳng $ax+by=c$, xác định nửa mặt phẳng (thử điểm $O(0,0)$), tìm giao điểm 2 đường thẳng, và quy trình thay tọa độ đỉnh vào hàm mục tiêu.

Xây dựng mô hình quy hoạch tuyến tính (Ẩn số, Ràng buộc, Hàm mục tiêu)

Sau khi đã rõ đề bài và ma trận tiêu hao, bước tiếp theo là formalize (trang trọng hóa) mô hình toán học theo cấu trúc chuẩn: Xác định ẩn số $\rightarrow$ Viết hệ ràng buộc $\rightarrow$ Xác định hàm mục tiêu. Đây là phần “khai báo” bài toán, nếu sai ở đây thì toàn bộ lời giải sau đó đều sai.

Đặt ẩn số: x (số lít nước cam), y (số lít nước táo), x ≥ 0, y ≥ 0

Quy tắc đặt ẩn số chuẩn:
– Gán $x$ cho sản phẩm đầu tiên được nhắc trong đề bài (Nước cam).
– Gán $y$ cho sản phẩm thứ hai (Nước táo).
– Luôn viết kèm điều kiện phi âm ngay dưới dòng đặt ẩn số.

Cách trình bày trên bài thi (Mẫu chuẩn):

Gọi $x$ (lít) là số lít nước cam, $y$ (lít) là số lít nước táo mà đội nên pha chế.
Ta có: $x \ge 0; \quad y \ge 0$.

Tại sao phải viết đơn vị (lít) và điều kiện phi âm?
– Viết đơn vị giúp chấm thi thấy bạn hiểu rõ ý nghĩa vật lý của ẩn số.
– Điều kiện $x \ge 0, y \ge 0$ là ràng buộc “vô hình” nhưng bắt buộc để miền giải nằm trong góc phần tư thứ nhất. Quên điều này là mất 0.25 – 0.5 điểm ngay lập tức (theo thang chấm chuẩn).

Lưu ý về biến thể: Nếu đề bài đổi tên thành “Loại A” và “Loại B”, hãy đặt $x$ cho Loại A, $y$ cho Loại B. Không được đặt $x$ cho nước táo, $y$ cho nước cam (trừ khi bạn ghi chú rất rõ, nhưng dễ gây nhầm lẫn khi viết hệ ràng buộc).

Viết hệ bất phương trình ràng buộc từ nguyên liệu: hương liệu (x + 4y ≤ 24), nước (x + y ≤ 9), đường (30x + 10y ≤ 210 → 3x + y ≤ 21)

Dựa vào ma trận tiêu hao ở phần trên, ta chuyển hóa từng hàng thành một bất phương trình. Tổng tiêu hao $\le$ Nguồn lực có sẵn.

Hệ bất phương trình ràng buộc (Hệ (R)):

$$\begin{cases} x + 4y \le 24 & \text{(Hương liệu)} \ x + y \le 9 & \text{(Nước)} \ 30x + 10y \le 210 & \text{(Đường)} \ x \ge 0, \quad y \ge 0 \end{cases}$$

Quy trình rút gọn hệ số (Rất quan trọng để vẽ đồ thị nhanh):
Bất phương trình đường: $30x + 10y \le 210$.
Chia 2 vế cho 10 (số dương, giữ nguyên dấu):
$\Rightarrow \mathbf{3x + y \le 21}$.

Hệ (R) chuẩn hóa để vẽ đồ thị:
$$\begin{cases} x + 4y \le 24 \quad (1) \ x + y \le 9 \quad (2) \ 3x + y \le 21 \quad (3) \ x \ge 0, \quad y \ge 0 \end{cases}$$

Các lỗi thường gặp ở bước này (Cần tuyệt đối tránh):
1. Sai dấu bất phương trình: Viết $\ge$ thay vì $\le$. Nhớ: “Tiêu hao không được vượt quá Kho” $\rightarrow$ $\le$.
2. Sai hệ số: Viết $4x + y \le 24$ (đảo hệ số hương liệu), hoặc $x + 3y \le 21$ (sai hệ số đường).
3. Quên rút gọn: Giữ $30x + 10y \le 210$ khiến vẽ đồ thị khó khăn (giao điểm với trục hoành là 7, trục tung là 21 – vẫn vẽ được nhưng tính giao điểm 2 đường thẳng phức tạp hơn).
4. Viết thành phương trình: Viết $x + 4y = 24$ thay vì $\le$. Mất điểm ngay vì không xác định được miền giải.

Có thể bạn quan tâm: Tổng Hợp 20+ Công Thức Pha Chế Đồ Uống Với Sữa Tươi Ngon, Dễ Làm Tại Nhà

Mẹo kiểm tra nhanh hệ ràng buộc:
– Thử điểm $O(0,0)$: $0 \le 24$ (Đúng), $0 \le 9$ (Đúng), $0 \le 21$ (Đúng). $\rightarrow$ Miền giải chứa gốc $O$. Điều này giúp xác định nửa mặt phẳng chứa gốc $O$ cho mọi đường thẳng ranh giới.

Xác định hàm mục tiêu (thường là lợi nhuận P = ax + by hoặc tổng sản lượng x + y tùy đề bài biến thể)

Hàm mục tiêu biểu diễn đại lượng cần tối ưu (Max hoặc Min). Trong đề bài “Pha chế”, có 2 dạng phổ biến nhất:

Dạng 1: Tối ưu Lợi nhuận (Phổ biến nhất trong đề thi thực hành & Quốc gia)

Giả sử lợi nhuận bán 1 lít nước cam là $a$ (nghìn đồng/đồng), 1 lít nước táo là $b$.
Hàm mục tiêu: $P = a \cdot x + b \cdot y$ (đơn vị: tiền).
Yêu cầu: Tìm Max $P$.

Ví dụ cụ thể thường gặp:
– “Biết bán 1 lít nước cam lãi 50k, 1 lít nước táo lãi 30k.” $\rightarrow$ $P = 50x + 30y$ (Max).
– “Bán 1 lít nước cam lãi 30k, 1 lít nước táo lãi 50k.” $\rightarrow$ $P = 30x + 50y$ (Max).

Dạng 2: Tối ưu Tổng sản lượng (Tổng số lít nước)

Không đề cập đến giá bán/loi nhuan, chỉ hỏi “pha chế được nhiều nước nhất”.
Hàm mục tiêu: $S = x + y$ (đơn vị: lít).
Yêu cầu: Tìm Max $S$.

Dạng 3: Tối ưu chi phí (Ít gặp hơn, yêu cầu Min)

Nếu đề bài cho chi phí sản xuất 1 lít nước cam là $c_1$, nước táo là $c_2$, hỏi “pha chế như thế nào để chi phí tối thiểu” (thường kèm điều kiện “phải sản xuất ít nhất tanto lít”).
Hàm mục tiêu: $C = c_1 x + c_2 y$ $\rightarrow$ Tìm Min $C$.

Cách xác định hàm mục tiêu từ đề bài:
1. Tìm từ khóa: “Lợi nhuận”, “Lãi”, “Thu nhập”, “Doanh thu” $\rightarrow$ Max $P = ax + by$.
2. Tìm từ khóa: “Tổng sản lượng”, “Số lít nước”, “Nhiều nhất”, “Tối đa số lượng” $\rightarrow$ Max $S = x + y$.
3. Tìm từ khóa: “Chi phí”, “Chi tiêu”, “Tối thiểu”, “Ít nhất” $\rightarrow$ Min $C = c_1x + c_2y$.

Lưu ý về tham số $a, b$:
Trong một số đề bài biến thể (như đề dự bị 2026), tham số $a, b$ có thể chứa chữ (ví dụ: $P = mx + 2y$) và đề bài hỏi: “Tìm $m$ để lợi nhuận tối đa khi pha chế 6 lít nước cam và 3 lít nước táo”. Lúc này, bạn giải ngược: Điểm tối ưu $(6,3)$ phải là đỉnh của miền giải $\rightarrow$ Đẳng thức phương trình đường thẳng ranh giới đi qua $(6,3)$ $\rightarrow$ Tìm $m$.

Tóm tắt mô hình hoàn chỉnh (Dạng 1 – Lợi nhuận):

Mô hình Quy hoạch tuyến tính:
– Ẩn số: $x \ge 0, y \ge 0$.
– Ràng buộc:
$$\begin{cases} x + 4y \le 24 \ x + y \le 9 \ 3x + y \le 21 \end{cases}$$
– Hàm mục tiêu: $P = ax + by$ $\rightarrow$ Max $P$.

Với mô hình này đã hoàn tất, chúng ta đã sẵn sàng cho giai đoạn tiếp theo: Giải bằng phương pháp đồ thị (vẽ miền giải, tìm tọa độ các đỉnh, thay vào hàm mục tiêu để ra kết luận).

Giải bài toán bằng phương pháp đồ thị (Các bước thực hiện)

Phương pháp đồ thị là cách tiếp cận trực quan và hệ thống nhất để giải bài toán quy hoạch tuyến tính hai ẩn số, cho phép quan sát miền giải khả thi và xác định giải tối ưu tại các đỉnh của miền đó. Quy trình thực hiện bao gồm ba giai đoạn chính: vẽ các đường thẳng ranh giới, xác định nửa mặt phẳng thỏa mãn và vẽ miền giải khả thi.

Vẽ đường thẳng ranh giới cho từng bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Để vẽ đường thẳng ranh giới của mỗi bất phương trình, chúng ta chuyển bất phương trình thành phương trình bằng cách thay dấu “$\le$” bằng “$=$”, sau đó xác định hai điểm phân biệt trên đường thẳng đó (thường lấy giao điểm với trục Ox và trục Oy) để vẽ.

Có thể bạn quan tâm: Tổng Hợp Mẫu Quầy Bar Pha Chế Đẹp 2026: Giá Thành, Chất Liệu & Đơn Vị Thi Công Uy Tín

Cụ thể với hệ ràng buộc của bài toán:
1. Đường thẳng $d_1: x + 4y = 24$ (Ràng buộc hương liệu)
– Giao trục Ox ($y=0$): $x = 24 \Rightarrow A_1(24; 0)$.
– Giao trục Oy ($x=0$): $4y = 24 \Rightarrow y = 6 \Rightarrow B_1(0; 6)$.
– Vẽ đường thẳng đi qua $A_1$ và $B_1$.

1. Đường thẳng $d_2: x + y = 9$ (Ràng buộc nước)

   • Giao trục Ox ($y=0$): $x = 9 \Rightarrow A_2(9; 0)$.
   • Giao trục Oy ($x=0$): $y = 9 \Rightarrow B_2(0; 9)$.
   • Vẽ đường thẳng đi qua $A_2$ và $B_2$.

2. Đường thẳng $d_3: 3x + y = 21$ (Ràng buộc đường)

   • Giao trục Ox ($y=0$): $3x = 21 \Rightarrow x = 7 \Rightarrow A_3(7; 0)$.
   • Giao trục Oy ($x=0$): $y = 21 \Rightarrow B_3(0; 21)$.
   • Vẽ đường thẳng đi qua $A_3$ và $B_3$.

3. Điều kiện không âm $x \ge 0, y \ge 0$

   • Giới hạn miền giải nằm trong phần I của mặt phẳng tọa độ (giữa trục Ox, trục Oy và các đường thẳng trên).

Lưu ý khi vẽ: Do các giao điểm với trục tọa độ có giá trị lớn (như 24, 21), bạn nên chọn tỷ lệ đơn vị phù hợp (ví dụ 1 đơn vị = 1cm hoặc 0.5cm) để hình vẽ vừa khít trang giấy và đảm bảo độ chính xác khi đọc tọa độ giao điểm sau này.

Xác định nửa mặt phẳng thỏa mãn từng bất phương trình (thử điểm gốc O(0,0))

Sau khi vẽ xong các đường thẳng ranh giới, mỗi đường thẳng chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Ta cần xác định nửa mặt phẳng nào chứa các điểm thỏa mãn bất phương trình ban đầu. Cách nhanh nhất là thử điểm gốc $O(0;0)$ (vì $O$ không thuộc bất kỳ đường thẳng ranh giới nào trong bài toán này).

Thay tọa độ $O(0;0)$ vào vế trái của từng bất phương trình:

1. Với $x + 4y \le 24$: $0 + 4(0) = 0 \le 24$ (Đúng). $\rightarrow$ Nửa mặt phẳng thỏa mãn là nửa mặt phẳng chứa gốc O.
2. Với $x + y \le 9$: $0 + 0 = 0 \le 9$ (Đúng). $\rightarrow$ Nửa mặt phẳng thỏa mãn là nửa mặt phẳng chứa gốc O.
3. Với $3x + y \le 21$: $3(0) + 0 = 0 \le 21$ (Đúng). $\rightarrow$ Nửa mặt phẳng thỏa mãn là nửa mặt phẳng chứa gốc O.
4. Với $x \ge 0, y \ge 0$: Miền giải nằm ở phần I (giữa trục Ox dương và trục Oy dương).

Kết luận: Miền giải khả thi là phần giao của ba nửa mặt phẳng chứa gốc O (các nửa mặt phẳng “dưới” hoặc “bên trái” các đường thẳng $d_1, d_2, d_3$) và phần I mặt phẳng. Trên hình vẽ, thường tô đậm hoặc gạch chéo các nửa mặt phẳng không thỏa mãn để làm nổi bật miền giải khả thi (phần trắng hoặc tô màu nhạt).

Vẽ miền giải khả thi (miền giới hạn bởi các đường thẳng và trục tọa độ)

Miền giải khả thi (ký hiệu $D$) là tập hợp tất cả các điểm $M(x;y)$ cùng thỏa mãn toàn bộ hệ ràng buộc. Đây là phần diện tích được giới hạn bởi:
– Trục Ox (từ $x=0$ đến giao điểm với $d_3$).
– Trục Oy (từ $y=0$ đến giao điểm với $d_1$).
– Các đoạn đường thẳng ranh giới $d_1, d_2, d_3$ cắt nhau tạo thành đường bao lồi.

Đặc điểm quan trọng của miền giải $D$ trong bài toán này:
– Miền giới hạn (Bounded): Miền $D$ nằm hoàn toàn trong một hình chữ nhật lớn (ví dụ $0 \le x \le 9, 0 \le y \le 6$), không kéo dài vô tận. Do đó, hàm mục tiêu $P = ax + by$ (với $a,b > 0$) luôn đạt giá trị Max tại một đỉnh của miền $D$. Đây là cơ sở lý thuyết cho việc chỉ cần kiểm tra giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh.
– Hình dạng: Là một đa giác lồi (tứ giác hoặc tam giác tùy vào sự cắt nhau của các đường thẳng).

Trên hình vẽ cuối cùng, miền giải khả thi $D$ là khu vực được bao bởi đường gấp khúc: $O(0;0) \rightarrow$ điểm trên trục Ox $\rightarrow$ giao điểm $d_2 \cap d_3$ $\rightarrow$ giao điểm $d_1 \cap d_2$ $\rightarrow$ điểm trên trục Oy $\rightarrow$ quay về $O$. Việc xác định chính xác tọa độ các đỉnh giao điểm này là bước then chốt tiếp theo.

Tìm tọa độ các đỉnh miền giải khả thi

Giải tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính (nếu tồn tại) luôn đạt được tại một đỉnh của miền giải khả thi. Do đó, việc tính toán chính xác tọa độ các đỉnh là bắt buộc trước khi thay vào hàm mục tiêu. Miền giải $D$ được xác định bởi sự cắt nhau của các đường thẳng ranh giới và trục tọa độ.

Tính giao điểm của các cặp đường thẳng ranh giới: (x+4y=24) với (x+y=9), (x+y=9) với (3x+y=21), (x+4y=24) với (3x+y=21)

Chúng ta giải hệ hai phương trình hai ẩn tương ứng với từng cặp đường thẳng ranh giới cắt nhau bên trong miền giải (phần I). Có ba cặp đường thẳng ranh giới có thể cắt nhau tạo thành đỉnh của miền $D$:

1. Giao điểm của $d_1: x + 4y = 24$ và $d_2: x + y = 9$ (Gọi là đỉnh $B$)
Giải hệ:
$$\begin{cases} x + 4y = 24 \ x + y = 9 \end{cases}$$
Trừ vế theo vế (phương trình 1 trừ phương trình 2):
$(x + 4y) – (x + y) = 24 – 9 \Rightarrow 3y = 15 \Rightarrow y = 5$.
Thay $y = 5$ vào $x + y = 9 \Rightarrow x + 5 = 9 \Rightarrow x = 4$.
$\rightarrow$ Tọa độ giao điểm: $I_1(4; 5)$.
Kiểm tra ràng buộc $d_3$: $3(4) + 5 = 17 \le 21$ (Thỏa mãn). Điểm này thuộc miền giải.

2. Giao điểm của $d_2: x + y = 9$ và $d_3: 3x + y = 21$ (Gọi là đỉnh $B$ trong outline, thường ký hiệu $B$ hoặc $I_2$)
Giải hệ:
$$\begin{cases} x + y = 9 \ 3x + y = 21 \end{cases}$$
Trừ vế theo vế (phương trình 2 trừ phương trình 1):
$(3x + y) – (x + y) = 21 – 9 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6$.
Thay $x = 6$ vào $x + y = 9 \Rightarrow 6 + y = 9 \Rightarrow y = 3$.
$\rightarrow$ Tọa độ giao điểm: $I_2(6; 3)$.
Kiểm tra ràng buộc $d_1$: $6 + 4(3) = 18 \le 24$ (Thỏa mãn). Điểm này thuộc miền giải.

Có thể bạn quan tâm: Cách Nấu Nước Đường Pha Chế Chuẩn Barista: Tỷ Lệ Vàng, Quy Trình Chi Tiết & Mẹo Không Lại Đường

3. Giao điểm của $d_1: x + 4y = 24$ và $d_3: 3x + y = 21$ (Gọi là $I_3$)
Giải hệ:
$$\begin{cases} x + 4y = 24 \ 3x + y = 21 \end{cases}$$
Từ phương trình 2: $y = 21 – 3x$.
Thay vào phương trình 1: $x + 4(21 – 3x) = 24 \Rightarrow x + 84 – 12x = 24 \Rightarrow -11x = -60 \Rightarrow x = \frac{60}{11} \approx 5.45$.
$y = 21 – 3(\frac{60}{11}) = \frac{231 – 180}{11} = \frac{51}{11} \approx 4.64$.
$\rightarrow$ Tọa độ giao điểm: $I_3(\frac{60}{11}; \frac{51}{11})$.
Kiểm tra ràng buộc $d_2$: $x + y = \frac{111}{11} \approx 10.09 > 9$ (Không thỏa mãn $x+y \le 9$).
$\rightarrow$ Điểm $I_3$ KHÔNG thuộc miền giải khả thi $D$. (Đây là điểm cắt nhau của hai đường thẳng ranh giới nhưng nằm ngoài miền giải do vi phạm ràng buộc nước).

Liệt kê tọa độ các đỉnh: O(0,0), A(7,0), B(6,3), C(0,6) (kiểm tra điểm nào thuộc miền giải)

Dựa trên các giao điểm đã tính và sự cắt của đường thẳng ranh giới với trục tọa độ (dưới điều kiện $x \ge 0, y \ge 0$), ta xác định được các đỉnh thực sự của miền giải khả thi $D$. Miền $D$ là đa giác lồi có các đỉnh theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ (hoặc chiều kim đồng hồ) như sau:

1. Đỉnh $O(0; 0)$: Gốc tọa độ, giao điểm của trục Ox và trục Oy. Luôn thỏa mãn mọi ràng buộc $\le$ với vế phải dương.
2. Đỉnh $A(7; 0)$: Giao điểm của đường thẳng $d_3 (3x+y=21)$ với trục Ox ($y=0$).
   • Kiểm tra: $x+4y = 7 \le 24$ (Đúng), $x+y = 7 \le 9$ (Đúng).
   • Lưu ý: Giao điểm $d_2$ với trục Ox là $(9;0)$ nhưng điểm này không thỏa mãn $3x+y \le 21$ ($27 > 21$), nên không phải đỉnh của $D$. Giao điểm $d_1$ với trục Ox là $(24;0)$ cũng không thỏa mãn.
3. Đỉnh $B(6; 3)$: Giao điểm của $d_2 (x+y=9)$ và $d_3 (3x+y=21)$ (Đã tính ở trên là $I_2$). Đây là đỉnh “góc” quan trọng nhất nơi hai ràng buộc Nước và Đường cùng chặt (binding constraints).
4. Đỉnh $C(0; 6)$: Giao điểm của đường thẳng $d_1 (x+4y=24)$ với trục Oy ($x=0$).
   • Kiểm tra: $x+y = 6 \le 9$ (Đúng), $3x+y = 6 \le 21$ (Đúng).
   • Lưu ý: Giao điểm $d_2$ với trục Oy là $(0;9)$ nhưng không thỏa mãn $x+4y \le 24$ ($36 > 24$). Giao điểm $d_3$ với trục Oy là $(0;21)$ cũng không thỏa mãn.

Tóm tắt các đỉnh của miền giải khả thi $D$:
| Đỉnh | Tọa độ | Được hình thành bởi | Ghi chú |
| :— | :— | :— | :— |
| O | $(0; 0)$ | Trục Ox $\cap$ Trục Oy | Gốc tọa độ |
| A | $(7; 0)$ | $d_3 (3x+y=21)$ $\cap$ Trục Ox | Ràng buộc Đường chặt |
| B | $(6; 3)$ | $d_2 (x+y=9)$ $\cap$ $d_3 (3x+y=21)$ | Ràng buộc Nước & Đường chặt |
| C | $(0; 6)$ | $d_1 (x+4y=24)$ $\cap$ Trục Oy | Ràng buộc Hương liệu chặt |

Kết luận: Miền giải khả thi $D$ là tứ giác $OABC$ (thứ tự các đỉnh đi quanh miền). Chỉ có 4 đỉnh này thỏa mãn toàn bộ hệ ràng buộc. Điểm $I_1(4;5)$ (giao $d_1 \cap d_2$) và $I_3(\frac{60}{11}; \frac{51}{11})$ (giao $d_1 \cap d_3$) nằm ngoài miền $D$ do vi phạm ràng buộc còn lại. Với 4 đỉnh xác định được, chúng ta đã sẵn sàng cho bước cuối cùng: thay tọa độ vào hàm mục tiêu để tìm giải tối ưu.

Tính giá trị hàm mục tiêu tại các đỉnh và đưa ra kết luận

Để tìm giải pháp tối ưu, ta thay tọa độ từng đỉnh của miền giải khả thi vào hàm mục tiêu và so sánh các giá trị thu được. Kết quả cho thấy điểm nào là cực đại hoặc cực tiểu tùy theo mục tiêu đề bài yêu cầu.

Thay tọa độ các đỉnh vào hàm mục tiêu

Giả sử hàm mục tiêu của bài toán là tổng lợi nhuận kinh tế hoặc tổng số lít đồ uống được pha chế, ký hiệu bằng $F = ax + by$. Tùy theo biến thể đề bài, hệ số $a$ và $b$ có thể khác nhau. Tuy nhiên, trong hầu hết các phiên bản phổ biến, hàm mục tiêu thường được đưa ra dưới dạng tối đa hoá hoặc tối thiểu hoá một biểu thức tuyến tính của $x$ và $y$.

Với bốn đỉnh của miền giải khả thi là $O(0; 0)$, $A(7; 0)$, $B(6; 3)$, và $C(0; 6)$, ta thực hiện phép tính như sau:

• Tại $O(0; 0)$: $F = a \cdot 0 + b \cdot 0 = 0$
• Tại $A(7; 0)$: $F = a \cdot 7 + b \cdot 0 = 7a$
• Tại $B(6; 3)$: $F = a \cdot 6 + b \cdot 3 = 6a + 3b$
• Tại $C(0; 6)$: $F = a \cdot 0 + b \cdot 6 = 6b$

Nếu lấy ví dụ cụ thể với $a = 50$ và $b = 30$, ta có:
– $F(O) = 0$
– $F(A) = 350$
– $F(B) = 390$
– $F(C) = 180$

So sánh giá trị để tìm Max/Min

Sau khi tính được giá trị của hàm mục tiêu tại từng đỉnh, bước tiếp theo là so sánh các giá trị này để xác định điểm cho giá trị lớn nhất (Max) hoặc nhỏ nhất (Min).

Trong ví dụ trên, ta thấy rằng $F(B) = 390$ là giá trị lớn nhất, tương ứng với đỉnh $B(6; 3)$. Do đó, nếu mục tiêu là tối đa hoá hàm mục tiêu, thì nghiệm tối ưu là $x = 6$, $y = 3$.

Ngược lại, nếu mục tiêu là tối thiểu hoá hàm mục tiêu, thì nghiệm tối ưu sẽ là $O(0; 0)$ với $F(O) = 0$, tức là không sản xuất sản phẩm nào. Tuy nhiên, điều này thường không phù hợp với thực tế đề bài.

Kết luận: Số lít nước cam và nước táo nên pha chế để đạt kết quả tối ưu

Dựa trên phân tích trên, ta kết luận rằng để đạt được kết quả tối ưu (tối đa hoá lợi nhuận hoặc tổng sản lượng), cần pha chế 6 lít nước cam và 3 lít nước táo.

Giải pháp này đảm bảo sử dụng hết nguyên liệu một cách hợu lệ nhất:
– Hương liệu: $6 + 4 \cdot 3 = 18 \leq 24$
– Nước: $6 + 3 = 9 \leq 9$
– Đường: $30 \cdot 6 + 10 \cdot 3 = 210 \leq 210$

Ba ràng buộc đều được thỏa mãn, và đây chính là điểm tối ưu trong miền giải khả thi. Với tỷ lệ này, quy trình pha chế sẽ mang lại hiệu quả kinh tế tối đa hoặc tối đa hoá sản lượng tùy theo mục tiêu đề bài đưa ra.

Các dạng biến thể thường gặp và lưu ý giải题

Trong quá trình làm bài, sinh viên thường gặp nhiều dạng biến thể khác nhau của cùng một dạng bài toán. Nhận diện và xử lý chúng đúng cách sẽ giúp tránh sai lầm và đạt điểm cao. Dưới đây là phân tích chi tiết về các dạng biến thể phổ biến và những lưu ý cần chú ý.

Phân tích biến thể đổi đơn vị (cốc, gam) và đổi tên loại (Loại A, Loại B) như đề thi thực hành

Một số đề thi thực hành thay đổi cách trình bày nhưng nguyên lý giải quyết vẫn giống hệt. Ví dụ:

• Đổi đơn vị đo lường: Thay vì dùng “lít”, “gam”, “ml” thì có thể dùng “cốc”, “lon”, “kg”. Cần chú ý chuyển đổi đơn vị sao cho đồng nhất trước khi thiết lập hàm số và ràng buộc.
• Đổi tên loại nguyên liệu: Thay vì “nước cam” và “nước táo”, đề có thể dùng “Loại A” và “Loại B”. Điều này không thay đổi cấu trúc bài toán, chỉ là làm sinh viên phải tự suy luận để gán đúng ẩn số.
• Thay đổi số liệu: Nhiều phiên bản đều thay đổi giá trị của nguyên liệu (ví dụ: 20g hương liệu thay vì 24g), nhưng cách giải pháp vẫn giống hệt.

Lưu ý quan trọng khi gặp các biến thể này là không nên nhầm lẫn giữa các loại nguyên liệu và luôn kiểm tra đơn vị đo lường để tránh sai số trong quá trình tính toán.

Liệt kê sai lầm thường gặp: quên điều kiện không âm, sai dấu bất phương trình đường, tính sai giao điểm

Trong quá trình giải bài toán quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đồ thị, sinh viên thường mắc một số sai lầm nhỏ nhưng có thể ảnh hưởng lớn đến kết quả:

• Quên điều kiện không âm ($x \geq 0$, $y \geq 0$): Đây là một trong những sai lầm phổ biến nhất. Nếu bỏ qua điều kiện này, miền giải khả thi sẽ mở rộng ra cả bốn phương trình, dẫn đến sai số hoàn toàn.
• Sai dấu bất phương trình: Ví dụ viết $x + 4y \geq 24$ thay vì $x + 4y \leq 24$. Điều này làm ngược hoàn toàn miền giải khả thi và dẫn đến kết luận sai lầm.
• Tính sai giao điệp: Khi giải hệ hai phương trình để tìm tọa độ các đỉnh, một sai số nhỏ trong phép tính pólynôm có thể thay đổi hoàn toàn vị trí đỉnh và ảnh hưởng đến bước tính hàm mục tiêu.

Để tránh những sai lầm này, sinh viên nên:
– Luôn kiểm tra lại các điều kiện ràng buộc trước khi vẽ đồ thị.
– Dùng phương pháp thử điểm (thường là gốc tọa độ $O(0; 0)$) để xác định đúng nửa mặt phẳng thỏa mãn.
– Tính toán kỹ lưỡng các giao điệp và kiểm tra lại bằng cách thay ngược vào hệ phương trình ban đầu.

Gợi ý tài liệu tham khảo: VietJack, Tuyensinh247, Loigiaihay, video YouTube “Đề dự bị 2026”

Để hiểu sâu hơn về chủ đề quy hoạch tuyến tính và luyện tập thêm nhiều dạng bài tập đa dạng, sinh viên có thể tham khảo các nguồn sau:

• VietJack: Cung cấp bài giải chi tiết từng bước, kèm theo hình ảnh minh họa rõ ràng.
• Tuyensinh247: Tổng hợp nhiều đề thi thực hành và cách giải mẫu.
• Loigiaihay: Là nền tảng hỗ trợ học sinh giải đề và trao đổi kiến thức.
• Video YouTube “Đề dự bị 2026”: Là tài liệu tham khảo cũ nhưng vẫn rất hữu ích cho việc nắm vững lý thuyết cơ bản.

Những nguồn này không chỉ giúp sinh viên nắm vững lý thuyết mà còn rèn luyện kỹ năng giải đề một cách nhanh chóng và chính xác.

Cập Nhật Lúc Tháng 8 18, 2026 by admin